Jelölje pi(x) az x-nél kisebb vagy egyenlő prímszámok számát. A prímszámtétel alapján pi(x) aszimptotikusan egyenlő x/log x-szel, ha x tart a végtelenhez. A híres Riemann sejtés szerint pi(x) – Li(x) modulusza kisebb mint C.x^(1/2).log x, ha x elég nagy és C>0 konstans (itt Li(x) az 1/ log t integrálja az [2, x] intervallumon). Másfelől, a pi(x)-re vonatkozó kétváltozós egyenlőtlenségek közül a legismertebb a máig megoldatlan Hardy-Littlewood sejtés, amely szerint pi(x+y)<= pi(x)+pi(y), ha x,y >=2 egész számok. A pi(x)-re vonatkozó egy és két-változós egyenlőtlenségek közül sok megtalálható számelméleti monográfiánkban [J. Sándor , Handbook of number theory, I., Springer, 2006 (társszerzőkkel)]. Jelen dolgozatban tanulmányozunk néhány új kétváltozós egyenlőtlenséget. Például, kimutatjuk, hogy (pi(x+y))^2>= (16/9).pi(x)pi(y), ha x,y >=2 egészek. Itt a 16/9 konstans optimális. Egy másik eredmény szerint (pi(x)/x)^s + (pi(y)/y)^s >=(2pi(x+y)/(x+y))^s pontosan akkor teljesül minden x,y >=2 egészekre, ha s<= s_0= 0.94745…, ahol s_0=t a (16/7)^t- (6/5)^t= 1 exponenciális egyenlet egyetlen pozitív megoldása.

{Megjegyzés. Mivel ez a dolgozat több mint 2 évvel az elfogadása után jelent meg, a szerző közben ezen dolgozat egyes eredményeit megjavította, illetve újfajta eredményeket ért el az alábbi két dolgozatban: J. Sándor, On certain inequalities for the prime counting function, Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, 27(2021), no.4, 149-153; illetve J. Sándor, On certain inequalities for the prime counting function II., Notes on Number Theory and Discrete Mathematics 28(2022), no.1, 124-128.}

A tanulmány adatai:
Alzer Horst; Kwong Man Kam; Sándor József
Inequalities involving pi(x)
Rendinconti del Seminario Matematico della Universita  di Padova. Volume: 147., Pages: 237-251.