A Set(n) halmaz alatt az összes olyan számok halmazát értjük, melyeknek ugyanazok a prímfaktorai, mint n-nek, és minden prímfaktor kitevői az n-ben szereplő prímfaktorok kitevőinek legkisebb és legnagyobb értékei közt vannak. Ezt a fogalmat Atanassov vezette be 2020-ban, aki megvizsgálta ennek a halmaznak érdekes algebrai tulajdonságait. Jelen dolgozatban bevezetjük a Set(n,f) halmazt, ahol f egy tetszőleges egész értékű aritmetikai függvény, és ezen azoknak az m számoknak a halmazát értjük, amelyek a Set(n)-ben vannak, és f(m) értékek szintén Set(n)-hez tartoznak. Megvizsgáljuk az f(n)=phi(n) (Euler), f(n)=psi(n) (Dedekind); f(n)=sigma(n) (osztók összege) sajátos eseteket. Az első két esetben felvázolható egy általános kép a halmazok mibenlétéről, de már a részletesebben megvizsgált partikuláris esetekben (amikor két vagy három prímfaktora van n-nek) is láthatjuk az adódó nehézségeket, hiszen a számok struktúraiban Fermat (azaz 2^k+1 alakú) vagy Mersenne (2^k-1 alakú) vagy más prímszámok is bejönnek. Márpedig jólismert, hogy csupán 5 Fermat prím és 51 Mersenne prím ismeretes csupán. Az ilyen számok valódi természete messze meghaladja a jelenlegi tudomány kapacitását. A harmadik esetben csupán egy partikuláris eset megvizsgálására vállalkoztunk, ez megmutatta, hogy van olyan számosztály, amikor Set(n, sigma(n)) nem az üres halmaz. A dolgozatból látható, hogy számos új nyitott kérdés vetődik fel és ezek tanulmányozására a jövőben kerülhet sor.

A tanulmány adatai:

On a modification of Set(n)

Szerző: Atanassov Krassimir T., Sándor József

Forrás: Notes on Number Theory and Discrete Mathematics (ISSN: 1310-5132), 2023. Volume: 29, Issue: 4, Pages: 813-819.