Az osztófüggvényre vonatkozó bizonyos korlátokról

Az osztófüggvényre vonatkozó bizonyos korlátokról

Legyen d(n) az n osztóinak száma. Ez a függvény a matematikában vagy az alkalmazott tudományban is fontos szerepet játszik. Ha n>1, a legismertebb korlátok d(n)-re 2<=d(n)<2.n^(1/2), vagy d(n)<K.n^r, hol r>0, K>0, n>=N. Ez utóbbi becslés, vagy más, pontosabb eredmények is inkább elméleti jelentőségűek. Jelen dolgozatban effektíven kimutatjuk, hogy d(n)<C.n^(1/k), ha k a 3 és 7 között mozog. Számitógép segítségével meghatározzuk C megközelítő értékeit, és innen következik pld.: C<4, ha k=3; C<10 ha k=4; C<34 ha k=5; C<189, ha k=6; C<2540, ha k=7. Több olyan becslést is igazolunk d(n)-re, melyek más számelméleti függvényekkel kapcsolatosak. Például, 2<= [omega(n). szigma(n) + phi(n)]/n<=d(n), ha n különbözik 6-tól, ahol omega(n) az n prímosztóinak száma, szigma(n), phi(n) pedig az n osztóinak összege, illetve az Euler féle függvény. A bizonyitásokban Csebisev klasszikus egyenlőtlenségét, vagy más, kevésbé ismert egyenlőtlenséget (pld. Faizev egyenlőtlensége) is felhasználunk. Például, d(n)[d(n)-1]<= [szigma(n)^2 – sigma_2(n)]/n, ahol szigma_2(n) az n osztóinak négyzetösszege.

A tanulmány adatai:

On certain bounds for the divisor function

Szerző: Sándor József

Forrás: Notes on Number Theory and Discrete Mathematics (ISSN: 1310-5132), 2024. Volume: 30, Issue: 2, Pages: 410-417.

Fotó: Bound for divisor function

 

Az osztófüggvényre vonatkozó bizonyos korlátokról

Legyen d(n) az n osztóinak száma. Ez a függvény a matematikában vagy az alkalmazott tudományban is fontos szerepet játszik. Ha n>1, a legismertebb korlátok d(n)-re 2<=d(n)<2.n^(1/2), vagy d(n)<K.n^r, hol r>0, K>0, n>=N. Ez utóbbi becslés, vagy más, pontosabb eredmények is inkább elméleti jelentőségűek. Jelen dolgozatban effektíven kimutatjuk, hogy d(n)<C.n^(1/k), ha k a 3 és 7 között mozog. Számitógép segítségével meghatározzuk C megközelítő értékeit, és innen következik pld.: C<4, ha k=3; C<10 ha k=4; C<34 ha k=5; C<189, ha k=6; C<2540, ha k=7. Több olyan becslést is igazolunk d(n)-re, melyek más számelméleti függvényekkel kapcsolatosak. Például, 2<= [omega(n). szigma(n) + phi(n)]/n<=d(n), ha n különbözik 6-tól, ahol omega(n) az n prímosztóinak száma, szigma(n), phi(n) pedig az n osztóinak összege, illetve az Euler féle függvény. A bizonyitásokban Csebisev klasszikus egyenlőtlenségét, vagy más, kevésbé ismert egyenlőtlenséget (pld. Faizev egyenlőtlensége) is felhasználunk. Például, d(n)[d(n)-1]<= [szigma(n)^2 – sigma_2(n)]/n, ahol szigma_2(n) az n osztóinak négyzetösszege.

A tanulmány adatai:

On certain bounds for the divisor function

Szerző: Sándor József

Forrás: Notes on Number Theory and Discrete Mathematics (ISSN: 1310-5132), 2024. Volume: 30, Issue: 2, Pages: 410-417.

Fotó: Bound for divisor function