Az erdélyi tudomány hírei

Magyar kutatók a geometriai kutatások élmezőnyében

Magyar kutatók a geometriai kutatások élmezőnyében

Több hírportál is beszámolt a napokban a Balogh Zoltán (Bern), Kristály Sándor (Kolozsvár) és Sipos Kinga (Bern) által publikált nemzetközi szinten elismert eredményekről.[1] Ezek mérföldkőnek számítanak a metrikus geometria területén, hiszen olyan problémát helyeznek új megközelítésbe, amelyet a matematikus közösség korábban lezártnak tekintett.

A magyar matematikusok által vizsgált probléma a metrikus geometria egyik alapkérdésével kapcsolatos, melynek gyökerei i.e. 814-re vezetődnek vissza, és amelyet az ún.  Didó-féle izoperimetrikus probléma néven ismerünk: melyik az a legnagyobb terület, amelyet bezár egy adott hosszúságú zárt görbe? A kérdés szoros kapcsolatban van a 19. században kifejlesztett geometriával is, amely során Bolyai János, Nikolai Lobachevsky és Carl Friedrich Gauss munkái nyomán világossá vált, hogy a görbület nélkülözhetetlen szerepet játszik különböző geometriai problémákban. Kicsit később pedig Bernhard Riemann megfogalmazta a tér görbületét leíró tenzor tulajdonságait. Az 1940-es években született meg Herbert Buseman és Danilovich Aleksandrov munkája nyomán a szintetikus geometria, amely a tér metrikus (és nem a differenciálható) tulajdonságaira alapul. Ebben a keretben vezette be John Lott, Karl-Theodor Sturm és Cedric Villani[2] a híres görbület-dimenzió feltételt, amely entrópia-típusú egyenlőtlenségen alapul, és amelyben az adott geometriai struktúra mély görbületi információkat takar. A Lott–Sturm–Villani-elmélet egyenlőtlenségekkel próbálja meg leírni a világot, melyekben az ún. görbületi disztorziókat az  állandó görbületű Riemann-terek (gömb, eukleideszi tér vagy hiperbolikus tér) szolgáltatják.  2009-ben Nicolas Juillet bizonyította, hogy az elmélet nem alkalmazható teljesen általánosan, például a szub-riemanni Heisenberg-csoportok elméletében. Ennek az eredménynek a következtében a matematikus közösség belátta a Lott–Sturm–Villani-elmélet szépségét, de egyúttal a korlátait is, és elfogadottá vált az a nézet, miszerint nincs esély a szub-riemanni esetben egy hasonló, általános tárgyalására az alap geometriai egyenlőtlenségeknek, mint a Brunn–Minkowski, Borell–Brascamp–Lieb, Prékopa–Leindler vagy izoperimetrikus egyenlőtlenségek.

A magyar kutatók eredményei azért igen fontosak, mert bizonyítják, hogy létezik egy olyan szub-riemanni világnézet, mely teljes mértékben leírja ezt az új geometriát a megfelelő egyenlőtlenségek révén. Ezáltal pedig – mint ahogyan Cedric Villani is fogalmaz egy frissen közölt összegző dolgozatában – lehetőség látszik a riemanni, finsleri és szub-riemanni geometriai egyenlőtlenségek egyesítésére.

 

[1] A BBTE és a Transindex is közölt tudományismertetőt a témában. A teljes közlemény itt olvasható.

[2] Cedric Villani Fields-díjas matematikus. A díj a legrangosabbnak számít a matematika szakterületén. Négyévente ítélik oda négy 40 évét még be nem töltött matematikusnak kimagasló eredményeiért.

Magyar kutatók a geometriai kutatások élmezőnyében

Több hírportál is beszámolt a napokban a Balogh Zoltán (Bern), Kristály Sándor (Kolozsvár) és Sipos Kinga (Bern) által publikált nemzetközi szinten elismert eredményekről.[1] Ezek mérföldkőnek számítanak a metrikus geometria területén, hiszen olyan problémát helyeznek új megközelítésbe, amelyet a matematikus közösség korábban lezártnak tekintett.

A magyar matematikusok által vizsgált probléma a metrikus geometria egyik alapkérdésével kapcsolatos, melynek gyökerei i.e. 814-re vezetődnek vissza, és amelyet az ún.  Didó-féle izoperimetrikus probléma néven ismerünk: melyik az a legnagyobb terület, amelyet bezár egy adott hosszúságú zárt görbe? A kérdés szoros kapcsolatban van a 19. században kifejlesztett geometriával is, amely során Bolyai János, Nikolai Lobachevsky és Carl Friedrich Gauss munkái nyomán világossá vált, hogy a görbület nélkülözhetetlen szerepet játszik különböző geometriai problémákban. Kicsit később pedig Bernhard Riemann megfogalmazta a tér görbületét leíró tenzor tulajdonságait. Az 1940-es években született meg Herbert Buseman és Danilovich Aleksandrov munkája nyomán a szintetikus geometria, amely a tér metrikus (és nem a differenciálható) tulajdonságaira alapul. Ebben a keretben vezette be John Lott, Karl-Theodor Sturm és Cedric Villani[2] a híres görbület-dimenzió feltételt, amely entrópia-típusú egyenlőtlenségen alapul, és amelyben az adott geometriai struktúra mély görbületi információkat takar. A Lott–Sturm–Villani-elmélet egyenlőtlenségekkel próbálja meg leírni a világot, melyekben az ún. görbületi disztorziókat az  állandó görbületű Riemann-terek (gömb, eukleideszi tér vagy hiperbolikus tér) szolgáltatják.  2009-ben Nicolas Juillet bizonyította, hogy az elmélet nem alkalmazható teljesen általánosan, például a szub-riemanni Heisenberg-csoportok elméletében. Ennek az eredménynek a következtében a matematikus közösség belátta a Lott–Sturm–Villani-elmélet szépségét, de egyúttal a korlátait is, és elfogadottá vált az a nézet, miszerint nincs esély a szub-riemanni esetben egy hasonló, általános tárgyalására az alap geometriai egyenlőtlenségeknek, mint a Brunn–Minkowski, Borell–Brascamp–Lieb, Prékopa–Leindler vagy izoperimetrikus egyenlőtlenségek.

A magyar kutatók eredményei azért igen fontosak, mert bizonyítják, hogy létezik egy olyan szub-riemanni világnézet, mely teljes mértékben leírja ezt az új geometriát a megfelelő egyenlőtlenségek révén. Ezáltal pedig – mint ahogyan Cedric Villani is fogalmaz egy frissen közölt összegző dolgozatában – lehetőség látszik a riemanni, finsleri és szub-riemanni geometriai egyenlőtlenségek egyesítésére.

 

[1] A BBTE és a Transindex is közölt tudományismertetőt a témában. A teljes közlemény itt olvasható.

[2] Cedric Villani Fields-díjas matematikus. A díj a legrangosabbnak számít a matematika szakterületén. Négyévente ítélik oda négy 40 évét még be nem töltött matematikusnak kimagasló eredményeiért.