Az erdélyi tudomány hírei

Néhány, egy szám osztóira vonatkozó aritmetikai szorzatról

Néhány, egy szám osztóira vonatkozó aritmetikai szorzatról

Ebben a dolgozatban három aritmetikai szorzatot vizsgálunk meg, melyek f(d) szorzatai, ahol d végigszalad az n összes osztóin, és f(d)=d^d, f(d)=d^(1/d), illetve f(d)=d^(log d). Az első két szorzat közt fennáll egy azonosság, melyben az n osztóinak összege is szerepet játszik. Ebből az azonosságból, illetve bizonyos valós függvények konvexitásából több egyenlőtlenséget is levezetünk mindhárom esetben, melyekben a sigma(n), d(n) függvények mellett az n szám osztóinak hatványösszegei is szerepelnek (sigma (n), illetve d(n) az n osztóinak összege, illetve száma), illetve az n szám osztóinak szorzata is. Bizonyos aszimptotikus eredményeket is levezetünk, például a harmadik szorzat logaritmusa és d(n)(log n)^2 arányának felső határértéke ½; illetve egy bonyolultabb, az első szorzatot tartalmazó kifejezés felső határértéke e^(gamma), ahol e, illetve gamma az Euler -féle állandók. Ez utóbbi eredménynél felhasználtuk Erdős Pál és S.K. Zaremba (1973) egy becslését.

A tanulmány adatai:

On certain arithmetical products involving the divisors of an integer

Szerző: Sándor József

Forrás: Notes on Number Theory and Discrete Mathematics (ISSN: 1310-5132), 2024. Volume: 30, Issue: 1, Pages: 111-115.

Fotó: Divisor function, (C) Linas, Wikipédia.

Néhány, egy szám osztóira vonatkozó aritmetikai szorzatról

Ebben a dolgozatban három aritmetikai szorzatot vizsgálunk meg, melyek f(d) szorzatai, ahol d végigszalad az n összes osztóin, és f(d)=d^d, f(d)=d^(1/d), illetve f(d)=d^(log d). Az első két szorzat közt fennáll egy azonosság, melyben az n osztóinak összege is szerepet játszik. Ebből az azonosságból, illetve bizonyos valós függvények konvexitásából több egyenlőtlenséget is levezetünk mindhárom esetben, melyekben a sigma(n), d(n) függvények mellett az n szám osztóinak hatványösszegei is szerepelnek (sigma (n), illetve d(n) az n osztóinak összege, illetve száma), illetve az n szám osztóinak szorzata is. Bizonyos aszimptotikus eredményeket is levezetünk, például a harmadik szorzat logaritmusa és d(n)(log n)^2 arányának felső határértéke ½; illetve egy bonyolultabb, az első szorzatot tartalmazó kifejezés felső határértéke e^(gamma), ahol e, illetve gamma az Euler -féle állandók. Ez utóbbi eredménynél felhasználtuk Erdős Pál és S.K. Zaremba (1973) egy becslését.

A tanulmány adatai:

On certain arithmetical products involving the divisors of an integer

Szerző: Sándor József

Forrás: Notes on Number Theory and Discrete Mathematics (ISSN: 1310-5132), 2024. Volume: 30, Issue: 1, Pages: 111-115.

Fotó: Divisor function, (C) Linas, Wikipédia.