A Riemann-geometria kiterjeszti a mindenki által jól ismert és használt eukledeszi geometriát olyan struktúrákra, amelyek  ‒ hétköznapi nyelven szólva ‒  nem feltétlenül laposak. A Riemann-sokaságok megjelenése elengedhetetlen volt az Einstein-féle relativitáselmélet kidolgozásában, de fontos jelentőséggel bír az űrkutatásban, képfeldolgozásban, elektromágneses jelenségek tanulmányozásában stb. Ezen belül központi szerepet kapnak a Riemann-sokaságokon értelmezett ún. Szoboljev-egyenlőtlenségek, melyek az adott sokaságon értelmezett függvények kvalitatív tulajdonságait vizsgálják.  

Az eddigi eredményekkel ellentétben, ahol csak a kompakt Riemann-sokaságok esete volt tárgyalva, a jelen dolgozat az ún. Moser-Trudinger-egyenlőtlenséget vizsgálja meg nem-kompakt Riemann-sokaságok esetén (mely a fent említett Szoboljev-egyenlőtlenségek egyik határhelyzete). Kihasználva a Gromov-féle lefedési elvet, bizonyos izoperimetrikus becsléseket (melyek a térstruktúráról adnak kvantitatív információt a Ricci-görbület révén), valamint variációs módszereket, különböző jellemzési és létezési eredményeket sikerült igazolni Hadamard-sokaságokon (negatív görbületű Riemann-sokaságok) megfogalmazott elliptikus parciális differenciálegyenletekre, melyekben a főtag a Laplace-Beltrami-operátor.

Reményeink szerint ezen eredmények egy eddig tátongó űrt töltenek be a nem-kompakt sokaságok elméletében.

Alexandru Kristály: New geometric aspects of Moser–Trudinger inequalities on Riemannian manifolds: the non-compact case. Journal of Functional Analysis 276(8)  2019, 2359‒2396. o.

A tanulmány itt érhető el.