Vandiver aritmetikai függvényéről II.

Esemény időpontja:

  • 2022-12-14 11:45:00
Vandiver aritmetikai függvényéről II.

Ebben a dolgozatban folytatódik Vandiver egy aritmetikai függvényének tanulmányozása, amelyet ugyanazon folyóiratban (2021, volume 27, no.3, 29-38) vezetett be a szerző.  Vandiver függvénye nem más, mint V(n)=(d+1) alakú tagok szorzata, ahol d végigmegy az n szám összes osztóin. H.S. Vandiver (1882- 1973) egy neves amerikai matematikus volt, akinek a legismertebb eredményei a híres Fermat sejtéshez kapcsolódtak, de sok más érdekes eredménye   van a számelmélet több területén is. 1904-ben Vandiver igazolta, hogy minden páratlan n-re V(n)<2^n, amelynek  bizonyításában felhasználta az Euler–féle számelméleti függvényt is. Az első részben igazoltuk más módszerekkel, hogy Vandiver eredménye igaz élesebb formában is, sajátosan igaz minden páros számra is, kivéve n=2,4,6,8,12 számokat. Ezenkívül több más egyenlőtlenséget, egyenletet és tökéletes számokkal kapcsolatos eredményt igazoltunk, és több nyitott problémát, illetve sejtést is megfogalmaztunk.
Ebben a  második részben más számelméleti függvényekkel való kapcsolatokat, illetve főleg aszimptotikus eredményeket bizonyítottunk. Például, kimutattuk, hogy  V(n)/T(n) logaritmusának  és log log n  arányának felső határértéke e^(gamma), ahol e és gamma a híres Euler-féle számok. Itt  T(n) jelöli az n szám összes osztóinak szorzatát. Egy másik eredmény szerint a  log log V(n)  normális nagyságrendje (1+log 2).log log n, ha n tart a végtelenhez. A dolgozatban megvizsgáltuk V(n) viselkedését bizonyos sajátos n értékekre is, például ha n=p-1, n=p+1, ahol p egy prímszám; n=2^m -1,  vagy ha n=phi(m), n=sigma(m), ahol phi és szigma az Euler függvény, illetve az osztók összege.

A tanulmány adatai:
Sándor József
On Vandiver's arithmetical function - II
NOTES ON NUMBER THEORY AND DISCRETE MATHEMATICS
Volume: 28, Issue: 4  Pages: 710-718.

Vandiver aritmetikai függvényéről II.

Ebben a dolgozatban folytatódik Vandiver egy aritmetikai függvényének tanulmányozása, amelyet ugyanazon folyóiratban (2021, volume 27, no.3, 29-38) vezetett be a szerző.  Vandiver függvénye nem más, mint V(n)=(d+1) alakú tagok szorzata, ahol d végigmegy az n szám összes osztóin. H.S. Vandiver (1882- 1973) egy neves amerikai matematikus volt, akinek a legismertebb eredményei a híres Fermat sejtéshez kapcsolódtak, de sok más érdekes eredménye   van a számelmélet több területén is. 1904-ben Vandiver igazolta, hogy minden páratlan n-re V(n)<2^n, amelynek  bizonyításában felhasználta az Euler–féle számelméleti függvényt is. Az első részben igazoltuk más módszerekkel, hogy Vandiver eredménye igaz élesebb formában is, sajátosan igaz minden páros számra is, kivéve n=2,4,6,8,12 számokat. Ezenkívül több más egyenlőtlenséget, egyenletet és tökéletes számokkal kapcsolatos eredményt igazoltunk, és több nyitott problémát, illetve sejtést is megfogalmaztunk.
Ebben a  második részben más számelméleti függvényekkel való kapcsolatokat, illetve főleg aszimptotikus eredményeket bizonyítottunk. Például, kimutattuk, hogy  V(n)/T(n) logaritmusának  és log log n  arányának felső határértéke e^(gamma), ahol e és gamma a híres Euler-féle számok. Itt  T(n) jelöli az n szám összes osztóinak szorzatát. Egy másik eredmény szerint a  log log V(n)  normális nagyságrendje (1+log 2).log log n, ha n tart a végtelenhez. A dolgozatban megvizsgáltuk V(n) viselkedését bizonyos sajátos n értékekre is, például ha n=p-1, n=p+1, ahol p egy prímszám; n=2^m -1,  vagy ha n=phi(m), n=sigma(m), ahol phi és szigma az Euler függvény, illetve az osztók összege.

A tanulmány adatai:
Sándor József
On Vandiver's arithmetical function - II
NOTES ON NUMBER THEORY AND DISCRETE MATHEMATICS
Volume: 28, Issue: 4  Pages: 710-718.